Pengertian Relasi
Relasi dan Fungsi merupakan cabang ilmu dari Aljabar. Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan pengaitan/pemasangan anggota-anggota pada himpunan A dengan anggota-anggota pada himpunan B.
Perhatikan ilustrasi berikut :
Ahmad adalah salah satu kepala keluarga di desa Warungboto. Aisyah adalah istrinya yang berasal dari desa Pilahan . Dari pernikahannya , Ahmad memiliki 2 orang putri dan seorang putra . Mereka adalah Ayu, Ana dan Ari. Dari penggalan cerita di atas hubungan yang terdapat antara Ahmad dan Aisyah adalah sepasang suami istri. Amad dan Aisyah adalah orang tua dari Ayu, Ana, dan Ari. Hubungan-hubungan yang dibentuk dari contoh diatas inilah yang disebut Relasi.
- Relasi dapat terbentuk apabila terdapat dua buah atau lebih himpunan/kelompok yang memiliki anggota yang akan dipasangkan satu dengan yang lain.
- Relasi dapat terbentuk apabila ada aturan yang mengaitkan antara anggota himpunan yang satu dengan anggota himpunan yang lain.
Contoh
Dalam matematika relasi memiliki arti yang lebih khusus. Misalkan Ani, Bili, Cici, dan Dika diminta untuk menyebutkan makanan favoritnya masing-masing :
- Makanan favorit Ani adalah bakso
- Makanan favorit Bili adalah Sate
- Makanan favorit Cici adalah Mie Ayam
- Makanan favorit Dika adalah Soto
Jika kita memiliki himpunan anak, A = {Ani, Bili, Cici, Dika}, dan himpunan makanan favorit, B = {Bakso, Sate, Mie Ayam, Soto}, maka kita dapat membentuk relasi atau hubungan antara anggota himpunan A dan anggota himpunan B. Relasi yang tepat untuk kedua himpunan tersebut adalah “Makanan favorit”. Setiap anggota himpunan A dapat dipasangkan dengan satu atau beberapa anggota himpunan B, bahkan mungkin ada anggota himpunan A yang tidak memiliki pasangan dengan anggota himpunan B.
Diagram dan Himpunan Pasangan Berurutan
Relasi antara dua himpunan dapat kita nyatakan dengan tiga cara, yaitu menggunakan diagram panah, himpunan pasangan berurutan, dan diagram Cartesius.
Diagram Panah
Berdasarkan contoh di atas, relasi antara himpunan A dan himpunan B dapat di representasikan melalui diagram panah. Jika ada seorang anak yang menyukai makanan tertentu, maka kita menggambarkan anak panah dari nama anak tersebut menuju makanan favoritnya. Oleh karena itu, diagram tersebut dikenal sebagai diagram panah.
Himpunan Pasangan Berurutan
Relasi “Makanan Favorit” pada diagram panah dapat juga kita nyatakan dengan himpunan pasangan berurutan. Anggota-anggota himpunan A = {Ani, Bili, Cici, Dika} kita pasangkan dengan anggota-anggota himpunan B = { Bakso,Sate, Mie Ayam, Soto}, sebagai berikut.
- Pernyataan “Makanan favorit Bili adalah Sate” cara menuliskannya dengan (Bili, Sate).
- Pernyataan “Makanan favorit Cici adalah Mie Ayam” cara menuliskannya dengan (Cici, Mie Ayam), dan seterusnya.
Sehingga himpunan pasangan berurutan untuk relasi ini dapat kita tulis dengan : {(Bili,Sate), (Cici, Mie Ayam), (Dika, Soto), (Ani, Bakso)}. Secara umum, himpunan pasangan berurutan dapat kita nyatakan sebagai berikut.
Jika kita anggap A dan B sebagai dua himpunan, maka relasi pasangan berurutan dari A ke B dapat di jelaskan sebagai suatu aturan yang menghubungkan setiap anggota dari himpunan A dengan setiap anggota dari himpunan B.
Diagram Kartesius
Mari perhatikan kembali diagram panah yang telah di sajikan. Relasi yang terdapat dalam gambar tersebut dapat di representasikan dalam bentuk diagram Cartesius. Elemen-elemen dari himpunan A akan terletak pada sumbu horizontal sebagai himpunan pertama, sementara elemen-elemen dari himpunan B akan terletak pada sumbu vertikal. Setiap elemen dari himpunan A yang memiliki pasangan dengan elemen dari himpunan B akan di tandai dengan titik (•). Untuk memperjelasnya, perhatikanlah diagram Cartesius berikut yang menggambarkan relasi “Makanan favorit”.
Dalam contoh tersebut, terdapat beberapa definisi untuk relasi dan fungsi yang meliputi domain (daerah asal), kodomain (daerah kawan), dan range (daerah hasil), seperti di jelaskan di bawah ini :
- Daerah Asal/ Domain suatu relasi adalah himpunan tidak kosong saat sebuah relasi terdefinisikan
- Daerah kawan/Kodomain suatu relasi adalah himpunan tidak kosong saat anggota domain memiliki pasangan sesuai relasi yang terdefinisikan
- Daerah hasil/ Range suatu relasi adalah sebuah himpunan bagian dari daerah kawan (kodomain) yang anggotanya adalah pasangan anggota domain yang memenuhi relasi yang terdefinisikan.
Pengertian Fungsi
Apakah kalian masih ingat pelajaran biologi mengenai golongan darah? Berapa banyak golongan darah yang ada? Mari kita sebutkan! Ada golongan A, B, AB, dan O. Sekarang, jika kalian mencatat golongan darah 10 teman di sekitar kalian, apakah ada teman yang memiliki dua golongan darah?
Masalah 1:
Rani mendata golongan darah ke 6 temannya. Hasil pendataan golongan darah berturut-turut adalah sebagai berikut: Widi, Riza, Bani, Ahmad, Sofi, dan Lita bergolongan darah O, A, A, O, B, dan A.
Jika nama-nama teman Rani termasuk dalam satu kelompok yang disebut A, dan golongan darah termasuk dalam kelompok B, maka koneksi antara kelompok A dan B adalah melalui “golongan darah”. Oleh karena itu, relasi ini dapat digambarkan dalam bentuk diagram panah sebagai berikut :
Perhatikan Gambar di atas!
- Apakah setiap anggota A mempunyai hubungan dengan anggota himpunan B?
- Apakah setiap anggota himpunan A mempunyai hubungan dengan hanya satu anggota himpunan B?
Karena setiap elemen dalam himpunan A terhubung dengan elemen dalam himpunan B dan setiap elemen dalam himpunan A hanya memiliki satu kawan dalam himpunan B, maka hubungan antara himpunan A dan B dapat dianggap sebagai fungsi atau pemetaan.
Sehingga dapat kita definisikan,
Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang menghubungkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B
Himpunan A = { Widi, Riza, Bani, Ahmad, Sofi, Lita} merupakan daerah asal atau domain fungsi. Lebih lanjut, Himpunan B = {A, B, AB, O} adalah daerah kawan atau kodomain fungsi dan himpunan {A, B, O} merupakan daerah hasil atau range yaitu himpunan dari peta setiap anggota daerah asal.
