Contoh Soal dan Penyelesaian Program Linear
Dalam Matematika, terdapat suatu materi yaitu program linear yang berfokus pada mencari nilai maksimum dan minimum suatu barang atau jasa. Materi ini diajarkan kepada siswa-siswi tingkat SMA dan SMK, terutama pada pelajaran program linear untuk kelas 11. Pendekatan yang lebih mendalam menggunakan metode STEAM (Sains, Teknologi, Engineering, Arts, dan Matematika) tidak hanya memfasilitasi pemahaman materi secara teoritis, tetapi juga penerapannya dalam praktik.
Sebelum memasuki pembahasan program linear, pemahaman tentang persamaan linear menjadi hal yang penting. Lebih lanjut, persamaan linear merujuk pada suatu persamaan yang menghasilkan garis lurus. Formula umumnya adalah:
y = mx + c
dengan,
x = variabel
c = konstanta
m = gradien
atau
ax + by + c = 0
Persamaan linear yang umumnya dikenal sebagai persamaan garis lurus mencakup perbandingan antara nilai koordinat pada sumbu X dan sumbu Y yang terletak sepanjang garis yang sama.
Pertidaksamaan Linear
Berbeda dengan persamaan linear, pertidaksamaan linear tidak menggunakan tanda sama dengan (=) dalam persamaannya. Akan tetapi, dalam persamaan ini menggunakan tanda kurang dari (<), lebih dari (>), kurang dari atau sama dengan (≤), dan lebih dari atau sama dengan (≥).
Lalu apa sebenarnya program linear?
Pengertian Program Linear
Program linear adalah suatu metode yang di gunakan untuk mencapai hasil optimal dari suatu model matematika yang di bangun dari hubungan-hubungan linear. Maka, ini merupakan kasus khusus dalam bidang pemrograman matematika atau optimisasi matematika. Lebih lanjut, dalam istilah sederhana, program linear dapat di anggap sebagai teknik optimisasi yang di terapkan pada fungsi objektif linear, di mana terdiri dari persamaan linear dan pertidaksamaan linear.
Program linear berbentuk model yang terdiri dari pertidaksamaan linear. Selanjutnya, ini merupakan salah satu pendekatan untuk menyelesaikan berbagai masalah yang di hadapi dalam kehidupan sehari-hari. Maka, tujuan dari program linear adalah untuk menemukan nilai optimum dari suatu persoalan linear. Sehingga, nilai optimum tersebut dapat berupa nilai maksimum atau minimum, dan di peroleh dari himpunan solusi yang memenuhi persoalan linear tersebut.
Ada beberapa karakteristik yang di miliki oleh program linear. Pertama, program ini mampu menangani masalah dengan kendala-kendala yang di ungkapkan dalam bentuk pertidaksamaan. selanjutnya yang kedua, program linear dapat menangani jumlah kendala yang besar. Terakhir, program linear terbatas pada fungsi objektif dan kendala yang berbentuk linear.
Bagian Program Linear
Program linear terdiri dari dua bagian: fungsi objektif atau fungsi tujuan dan fungsi kendala. Fungsi objektif merupakan fungsi yang nilainya akan di optimalkan, bisa bernilai maksimum atau bisa juga bernilai minimum, tergantung dari kasusnya.
Fungsi tujuan memiliki bentuk umum:
f(x, y) = px + qy. dengan p dan q adalah konstanta.
Sedangkan fungsi kendala merupakan batasan yang wajib dipenuhi oleh peubah dalam fungsi objektif.
Bentuk umum fungsi kendala:
ax + by ≤ m atau ax + by ≥ m
cx + dy ≤ n atau cx + dy ≥ n
x ≥ 0 ; y ≥ o atau x ≥ 0 ; y ≥ o
Model Matematika Program Linear
Pentingnya model matematika dalam program linear sangat signifikan dalam menyelesaikan masalah-masalah sehari-hari. Ini disebabkan karena masalah-masalah tersebut perlu diubah terlebih dahulu ke dalam bentuk notasi matematika sebelum dapat dipecahkan menggunakan program linear.
Setelah model di bentuk dengan benar, langkah selanjutnya adalah melakukan analisis sensitivitas pada program linear tersebut. Proses menuliskan permasalahan sehari-hari ke dalam model matematika dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut:
- Tulis ketentuan-ketentuan yang sudah ada ke dalam sebuah tabel.
- Buat permisalan, ini berlaku untuk objek-objek yang belum diketahui dalam bentuk variabel x dan y.
- Buat sistem pertidaksamaan linear, didapatkan dari hal-hal yang diketahui.
- Tentukan fungsi objektif yang ingin dicapai.
- Selesaikan model matematika untuk mendapat nilai optimum dari fungsi objektif.
Penjelasan ini bisa lebih jelas usai menyimak soal program linear berikut ini.
Contoh Soal dan Penyelesaian Program Linear
Berikut ini adalah beberapa contoh soal program linear yang kerap muncul dalam ujian sekolah maupun masuk perguruan tinggi:
SOAL 1
Seorang penjual buah punya modal Rp1 juta untuk membeli apel dan pisang. Harga beli tiap kg apel adalah Rp4 ribu dan pisang Rp1,6 ribu. Maksimal, maka pedagang tersebut hanya bisa menampung 400 kg buah. Berapa jumlah apel dan pisang yang harus dibeli agar keuntungan bisa maksimal?
Penyelesaian:
Untuk menyelesaikan masalah ini, perlu membuat model matematika terlebih dahulu dari permasalahan tersebut.
Misal,
apel = x = 4.000
pisang = y = 1.600
syarat:
Kapasitas tempat = x + y ≤ 400 = 2x + 2y ≤ 800
Modal = 4000x + 1600 y ≤ 1.000.000 = 5x + 2y ≤ 1.250
x > 0
y > 0
Lebih lanjut, lakukan metode eliminasi pada dua persamaan yang sudah diketahui:
5x + 2y ≤ 1250
2x + 2y ≤ 800
3x ≤ 450
x ≤ 150
Setelah diketahui x, maka bisa dicari nilai y:
2x + 2y ≤ 800
300 + 2y ≤ 800
2y ≤ 500
y ≤ 250
Dari penyelesaian tersebut, diketahui bahwa untuk keuntungan maksimal, pedagang buah tersebut harus membeli apel sebanyak 150kg dan pisang 250kg.
SOAL 2
Penjahit pekaian punya kain sutera 16m, kain katun 15m, dan kain wool 11, dan akan membuat dua model pakaian. Model A butuh 2m sutera, 1m wool, dan 1m katun, sedangkan model B perlu 1m sutera, 2m wool, dan 3m katun. Keuntungan dari model A adalah Rp3 ribu per potong, sedangkan model B Rp5 ribu per pakaian. Berapa pakaian masing-masing model yang harus di buat agar keuntungan maksimal?
Penyelesaian:
Selanjutnya untuk mencari jawaban, lebih dulu perlu menjadikan permasalahan ini menjadi model matematika. Maka, ini merupakan optimasi keuntungan, bisa di tulis:
f(x, y) = 3000x + 5000y
Sedangkan kendala dalam masalah ini, misal model A adalah x dan model B adalah y, dengan memperhatikan jumlah kain yang tersedia:
Sutera: 2x + y ≤ 16
Wool: x + 2y ≤ 11
Katun: x + 3y ≤ 15
Dari penggambaran garis-garis ini, di peroleh empat titik ekstrim, yaitu (8, 0), (7, 2), (3, 4), dan (0,5).
Lebih lanjut, bisa di lakukan uji coba kepada fungsi objektifnya untuk di ketahui mana yang menghasilkan keuntungan maksimal:
f(A) = f(8, 0) = 3.000(8) + 5.000(0) = 24.000
f(B) = f(7, 2) = 3.000(7) + 5.000(2) = 31.000
f(C) = f(3, 4) = 3.000(3) + 5.000(4) = 29.000
f(D) = f(0, 5) = 3.000(0) + 5.000(5) = 25.000
Jadi, dari penyelesaian tersebut di ketahui keuntungan maksimal adalah 31 ribu, didapat dari titik (7, 2). Lebih lanjut, keuntungan maksimum akan di dapat dengan membuat 7 baju model A dan 2 baju model B.
SOAL 3
Penyelesaian:
Untuk menentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan , cukup kita lihat koefisien . Dengan koefisien positif dan tanda
Lebih lanjut, daerah HP berada di bawah garis. Lebih lanjut, untuk daerah penyelesaian pertidaksamaan
Selanjutnya, untuk daerah pertidaksamaan diarsir daerah HP berada di kanan garis.
Maka, daerah pada gambar yang mengambarkan irisan ketiganya adalah gambar (D)
Cara Cepat
Untuk melihat atau menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian , maka dapat menggunakan uji titik atau dengan trik melihat koefisien . maka,
#Jika koefisien positif dan tanda maka daerah Himpunan Penyelesaian berada di bawah garis. Lebih lanjut,
#Jika koefisien positif dan tanda maka daerah Himpunan Penyelesaian berada di atas garis.
SOAL 4
Penyelesaian:
Maka, batas-batas daerah yang memenuhi adalah:
Maka, untuk menentukan pertidaksamaannya, kita tentukan dengan titik uji. Lebih lanjut, kita pilih sebuah titik pada daerah yang merupakan himpunan penyelesaian atau daerah yang di arsir pada gambar.
- Titik
ke di peroleh , maka pertidaksamaannya adalah - Titik
ke di peroleh , maka pertidaksamaannya adalah - Untuk batas yang di arsir adalah daerah
- Untuk batas yang di arsir adalah daerah
SOAL 5
Penyelesaian:
Daerah Himpunan Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan di atas kita gambarkan dengan metode terbalik, daerah HP adalah daerah yang bersih. Gambarnya kurang lebih seperti berikut ini;
Akhirnya, demikian Soal dan Penyelesaian Program Linear semoga bermanfaat.