Barisan dan Deret Aritmatika Lengkap : Pengertian, Contoh Soal dan Penyelesaian

Barisan dan deret aritmatika memiliki manfaat yang signifikan dalam matematika dan berbagai bidang kehidupan. Mereka berguna untuk memodelkan dan menggambarkan pola matematis, memprediksi dan peramalan nilai-nilai masa depan, menyelesaikan persamaan dan masalah matematika, serta mengembangkan keterampilan berpikir analitis dan pemecahan masalah.

Selain itu, mereka juga di terapkan dalam fisika, ilmu teknik, keuangan, dan berbagai disiplin lainnya, membantu kita memahami fenomena berulang, menghitung pertumbuhan, dan melakukan perencanaan keuangan. Secara keseluruhan, pemahaman dan penerapan barisan dan deret aritmatika memberikan kontribusi yang penting dalam pengembangan ilmu pengetahuan, analisis data, serta pengambilan keputusan yang lebih baik dalam berbagai konteks kehidupan.

Secara garis besar, barisan merujuk pada sekumpulan bilangan yang tersusun secara berurutan dari kiri ke kanan. Setiap bilangan dalam barisan tersebut memiliki karakteristik atau pola tertentu. Setiap bilangan dalam barisan juga sebagai suku yang merupakan bagian dari barisan itu sendiri.

Dalam hal ini, deret adalah hasil penjumlahan dari suku-suku dalam sebuah barisan. Contohnya, jika kita memiliki barisan U1, U2, U3, U4, ….. Un, maka deretnya akan merupakan penjumlahan dari U1 + U2 + U3 + U4 +….. Un. Penting untuk dicatat bahwa “U” mengacu pada suku dalam barisan, sedangkan Un merujuk pada suku ke-n.

Pengertian

Aritmetika merupakan cabang matematika yang berfokus pada operasi dasar seperti penjumlahan, pengurangan, pembagian, dan perkalian. Penting untuk di ingat bahwa istilah yang benar adalah “aritmetika”, bukan “aritmatika”.

Jika kita melihat pada bentuk barisan, ketika selisih antara suku pertama dengan suku kedua, dan seterusnya, adalah konstan, maka itu dapat disebut sebagai barisan aritmetika.

Dengan kata lain, barisan aritmetika adalah rangkaian bilangan yang memiliki perbedaan tetap antara suku-suku yang berdekatan. Perbedaan ini dikenal sebagai beda, yang dilambangkan dengan simbol b. Di sisi lain, deret aritmetika merujuk pada hasil penjumlahan suku-suku pertama dalam barisan aritmetika tersebut.

Contohnya, dalam sebuah barisan, suku pertama adalah 1. Suku pertama dalam barisan aritmetika ini dapat ditulis sebagai U1 atau a. Kemudian, suku kedua (U2) adalah 4, suku ketiga (U3) adalah 7, suku keempat (U4) adalah 10, dan seterusnya. Dengan demikian, barisan ini memiliki perbedaan yang tetap, yaitu 3, antara setiap suku.

Menemukan Konsep Barisan dan Deret Aritmetika beserta Contoh

Sekarang, mari kita menggali lebih dalam mengenai rumus-rumusnya. Rumus untuk barisan aritmetika digunakan untuk mencari suku ke-n (Un). Di sisi lain, rumus untuk deret aritmetika berguna untuk mencari jumlah dari suku-suku tersebut.

Untuk mempermudah pemahamanmu tentang rumus-rumus ini, mari kita langsung melihat contoh soalnya. Misalnya, kita memiliki barisan bilangan 1, 3, 5, 7, 9, 11, … Maka,

Suku pertama = U₁ = a = 1

Suku kedua = U₂ = 3

terakhir suku ketiga = U₃ = 5 … dst sampai suku ke-n = U_n

Beda atau selisih suku pertama dengan suku kedua, suku kedua dengan suku ketiga, dan seterusnya:

b = U₂ – U₁ = 3 – 1 = 2

b = U₃ – U₂ = 5 – 3 = 2

b = U₄ – U₃ = 7 – 5 = 2 … dst

Jadi, b = 2.

Menemukan suku ke-7 (U₇), caranya gampang ya, gais. Kamu tinggal tambahkan saja suku ke-6 (U₆) dengan nilai beda nya.

b = U₇ – U₆

U₇ = U₆ + b

U₇ = 11 + 2 = 13

Mencari suku ke-20, suku ke-35, atau suku ke-100 dengan cara menjumlahkan satu per satu suku dengan bedanya tidaklah efektif. Oleh karena itu, kita perlu menggunakan rumus barisan aritmetika.

Rumus Mencari Suku ke-n (U_n) dan Beda (b)

Coba kita cari suku ke-20 menggunakan rumus di atas, ya!

U_n = a + (n – 1)b

U₂₀ = 1 + (20 – 1)2

U₂₀ = 1 + (19.2)

U₂₀ = 1 + 38 = 39

Jadi, suku ke-20 barisan aritmetika tersebut adalah 39. Lebih cepat, kan?

Rumus Deret Aritmetika  

Deret aritmetika adalah hasil penjumlahan dari suku-suku dalam barisan aritmetika. Artinya, kita menjumlahkan semua suku yang ada. Misalkan kita memiliki barisan aritmetika 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, … dan kita ingin mencari jumlah dari 5 suku pertama dalam barisan tersebut. Hasilnya adalah:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Jika jumlah suku yang di minta masih sedikit, kita masih bisa dengan mudah menjumlahkannya secara manual. Namun, jika kita di minta untuk mencari jumlah dari 100 suku pertama, misalnya, tentu akan menjadi sangat sulit dilakukan secara manual.

Oleh karena itu, kita membutuhkan rumus deret aritmetika!

Contoh:

Terdapat barisan aritmetika 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, … Tentukan berapa jumlah 100 suku pertamanya!

Pembahasan:

Diketahui:

a = 1

b = 2

Ditanya: S_n …?

Jawab:

$$S_n=\frac12n\left(2a+(n-1\right)b)\\S_{100}=\frac12(100)\left(2(1)+(100-1\right)2)\\S_{100}=50\left(2+(99\right)2)\\S_{100}=50(2+198)\\S_{100}=50(200)\\S_{100}=10.000$$